Der Zauber Cantors oder das verlorene Paradies

Philosophische Bemerkungen zum Unendlichen in der Mathematik

Von Norbert Domeisen

                  

                                                           

Die Phi­losophie der Mathematik besteht in ei­ner genauen Untersu­chung der mathe­matischen Beweise - nicht darin, dass man die Mathe­matik mit einem Dunst um­gibt.
Ludwig Wittgenstein
Philosophische Grammatik

Den Himmel wollten wir stürmen und haben nur Nebel auf Nebel getürmt, die niemanden tragen, der ernsthaft auf ihnen zu stehen versucht.
Hermann Weyl
Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik


Was ich lehren will, ist:
von einem nicht offenkundigen Unsinn zu einem offenkundigen übergehen
.
Ludwig Wittgenstein
Philosophische Untersuchungen 464


Der Widerspruch, der uns überall in der Lebenswelt begegnet, muss aus logisch-analytischen Denksystemen eliminiert werden, sollen sie sicherer Erkenntnis dienen. Trotzdem: Die Faszination die der Widerspruch, das Paradoxe, auf Intellektuelle ausübt liegt wohl auch darin, dass er sich zur Herstellung einer alles erklärenden Theorie verwenden lässt, weil sich mit einem widersprüchlichen System alles beweisen lässt, wie Karl Popper zeigte1. Eine Theorie, die den Widerspruch miteinschliesst und aus der sich folglich alles ableiten lässt, lässt auch den Beweis der aufsehenerregendsten Resultate zu, die um so mehr verblüffen, je besser es gelingt, eben die elementare Erkenntnis, dass sich aus Widersprüchen alles ableiten lässt, zu verschleiern, wegzuzaubern oder auszublenden. So hat Hegels Logik und Dialektik2, in der Widersprüche nicht ausgeschlossen, sondern gleichsam als essentieller Bestandteil dieser Theorie gesehen werden, Generationen in ihren Bann gezogen. Auch die Widersprüche der Mengenlehre, auf deren Grundlage hier noch näher eingegangen werden soll, haben die Verbreitung dieser Theorie nicht behindert und Gödels Unvollständigkeitstheorem, das auf dem Widerspruch, der epistemologischen Antinomie, basiert3, wurde über den Kreis der Logiker hinaus seit Jean-François Lyotard zum Katechismus postmodernen Denkens4. Haben sich aber solche Theorien einmal zu Lehrmeinungen verfestigt, werden die Grundlagen, auf denen sie beruhen kaum mehr in Frage gestellt und gelten als Glaubenssätze, vor allem dann, wenn sie über ihren Entstehungskreis hinaus so etwas wie Allgemeingut geworden sind. Und Ketzer, die solche Glaubenssysteme ablehnen, sie in Frage stellen, sich ihrem Zauber entziehen oder sie gar widerlegen, werden ignoriert oder es wird ihnen mangelndes Verständnis vorgeworfen. Vielleicht hängt dies damit zusammen, dass Theorien nicht aufgegeben werden, wenn sie widerlegt werden, sondern erst wenn diejenigen, die sie vertreten, aussterben, wie Thomas S. Kuhn meint5. Vielleicht aber liegt es auch daran, dass mit Kant zu sprechen, "die Trägheit sehr vieler Menschen macht, dass sie lieber in anderer Fussstapfen treten, als ihre eignen Verstandeskräfte anstrengen".6



Gibt es transfinite Kardinalzahlen und nicht abzählbare Mengen?

Um nun diese Bemerkungen über den Widerspruch auf den Punkt zu bringen, ist es nötig, auf Georg Cantor, den Begründer der Mengenlehre zurückzugehen. Mit seinem zweiten Diagonalverfahren bewies Cantor 1874, dass - wie Hans Hahn zusammenfasste - "die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der reellen Zahlen nicht gleichzahlig sind, diese beiden Mengen haben verschiedene Kardinalzahlen. Die Kardinalzahlen der Menge der reellen Zahlen nannte Cantor die »Mächtigkeit des Kontinuums« wir wollen es mit c bezeichnen ... Da bekanntlich die reellen Zahlen eineindeutig den Punkten einer Geraden zugeordnet werden können, ist c auch der Kardinalzahl der Menge aller Punkte einer Geraden. Überraschenderweise konnte Cantor nachweisen, dass es auch eine eineindeutige Zuordnung zwischen der Menge aller Punkte einer Ebene und der Menge aller Punkte einer Geraden gibt. Diese beiden Mengen sind also gleichzahlig, d.h. c ist auch die Kardinalzahl der Menge aller Punkte einer Ebene, obwohl man doch auch hier geneigt wäre zu sagen, dass eine Ebene ausserordentlich viel mehr Punkte enthält als eine Gerade; ja, wie Cantor gezeigt hat, ist c auch die Kardinalzahl der Menge aller Punkte des dreidimensionalen Raumes, ja eines Raumes von beliebiger Dimensionszahl." 7

Mit andern Worten: Georg Cantor bewies mit seinem Diagonalverfahren die Existenz von transfiniten Kardinalzahlen, also verschiedenen Anzahlen unendlicher Mengen sowie die Existenz von nicht abzählbaren Mengen. Abzählbar heisst eine Menge, wenn sich ihre Elemente den natürlichen Zahlen paarweise zuordnen lassen. Cantor zeigte, dass die Menge aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 nicht abzählbar und daher erst recht die Menge aller reellen Zahlen nicht abzählbar unendlich sei. Dazu stellte er sich diese reellen Zahlen, also die endlichen und unendlichen Dezimalbrüche, in einer unendlichen Liste aufgeschrieben vor, deren Zeilen er die natürlichen Zahlen zuordnete, was etwa so aussah:


1. 0,12876................
2. 0,25098................
3. 0,18919................
4. 0,87919................
5. 0,42110................
.. ............................
.. ............................
.. ............................

oder allgemein

1. 0, a1 a2 a3.a4 a5 ..........
2. 0, b1 b2 b3 b4 b5 .........
3. 0, c1 c2 c3 c4 c5 ..........
4. 0, d1 d2 d3 d4 d5 .........
5. 0, e1 e2 e3 e4 e5 ..........
. ...................................
. ...................................
. ...................................

beziehungsweise
1. 0, a11 a12 a13.a14 a15 ..........
2. 0, a21 a22 a23.a24 a25 ..........
3. 0, a31 a32 a33.a34 a35 ..........
4. 0, a41 a42 a43.a44 a45 ..........
5. 0, a51 a52 a53.a54 a55 ..........
. ..........................................
. ..........................................
. ..........................................

In dieser abzählbar unendlichen Liste fehlt nun eine reelle Zahl, die man wie folgt findet: man wählt die erste Dezimale verschieden von der ersten Dezimale der ersten Zahl der Liste, die zweite Dezimale verschieden von der zweiten Dezimale der zweiten Zahl der Liste, die dritte Dezimale verschieden von der dritten Dezimale der dritten Zahl der Liste und so fort (fett gedruckte Ziffern). Und diese Diagonalzahl unterscheidet sich damit von allen unendlich abzählbaren reellen Zahlen der Liste, weil sie verschieden ist von der ersten Zahl an der ersten Stelle, von der zweiten Zahl an der zweiten Stelle und so weiter. Daraus folgt, so ist in Lehrbüchern8 und Lexiken zu lesen, dass die Menge der reellen Zahlen grösser sei als die Menge der natürlichen Zahlen und es folglich verschiedene unendliche Anzahlen, transfinite Kardinalzahlen und nicht abzählbare oder überabzählbare Mengen gebe, also eine ganze Hierarchie von Unendlichkeiten, wie Martin Gardner im Scientific American dem breiten Publikum darlegte9. Cantors Diagonalverfahren hat in der Folge eine weite Verbreitung erfahren als Technik zur Konstruktion eines Elementes, das in einer unendlichen Liste von Elementen nicht vorhanden ist und so als Grundlage für verschiedene verblüffende Paradoxien des Unendlichen gedient. Für David Hilbert hat Cantor gar ein Paradies eröffnet10 , aus dem er sich nicht mehr vertreiben lassen wollte und die Mengenlehre hat sich als Grundlage der Mathematik etabliert, nachdem die darin auftauchenden syntaktischen Antinomien, die zur sogenannten Grundlagenkrise der Mathematik führten11, eine Korrektur durch Bertrand Russells Typentheorie oder eine entsprechende Axiomatisierung brachten. In der damaligen Diskussion ging es auch um die Frage, ob man sich das Unendliche als bestimmt und vollendet denken und als aktual Gegebenes auffassen dürfe, wie Cantor und mit ihm Hilbert meinten, oder ob das Unendliche nie ein effektiv vorhandenes abgeschlossenes Ganzes sei, wie Kronecker, Weyl und Brouwer postulierten. Es ging also um die Frage, ob eine unendliche Dezimalzahl auf beliebig viele Stellen genau erfasst werden kann oder ob eine unendliche Dezimalzahl als eine vorgegebene Folge von Ziffern gegeben ist, wie Rudolf Taschner zusammenfasst12. Unbeachtet blieb in dieser Auseinandersetzung aber die Frage, wie man sich das Unendliche und seine Beziehung zum Endlichen vorzustellen hat, so dass sichergestellt werden kann, dass die für endliche Dezimalzahlen gültigen Rechentechniken auf unendliche Dezimalzahlen übertragen werden können. Diese Frage wurde auch in der bisherigen Literatur nicht aufgeworfen, wohl aber implizit beantwortet, indem man fraglos davon ausging, dass die Aufzählung aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 die Anwendung des Cantorschen Diagonalverfahrens erlaube, was impliziert, dass es sich dabei um eine unendliche Liste mit gleich vielen Zeilen wie Spalten oder Nachkommastellen der aufgelisteten Dezimalzahlen, also eine quadratische Zahlenmatrix handelt, so dass es möglich ist, aus jeder Zeile eine Stelle auszuwählen, die von allen andern verschieden ist. Nun hält diese implizite Annahme, wie zu zeigen sein wird, einer kritischen Prüfung nicht stand.

Cantors genial einfaches Beweisverfahren erinnert an Euklids Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen und damit keine grösste Primzahl gibt. Was Wunder, dass es bisher unbestritten blieb und Fachleute und Laien gleichermassen überzeugte. Unbeachtet blieben daher auch Ludwig Wittgensteins kritische Bemerkungen zur Mengenlehre und zum Diagonalverfahren. Wittgensteins Kritik war radikal und grundsätzlich. Sie bezog sich, metaphorisch gesprochen, nicht auf das Theoriegebäude, sondern auf das Fundament dieser Theorie und stellte sie damit prinzipiell in Frage, wenn auch zuzugeben ist, dass diese Kritik nur ansatzweise und vage in Aufzeichnungen skizziert wurde, die erst postum veröffentlicht wurden. Daher soll hier versucht werden, diese Kritik sowie weitere Hinweise aus der Literatur aufzunehmen, zu systematisieren und zu Ende zu führen. Dabei soll die Bedingung der Möglichkeit des Cantorschen Beweisverfahrens klar gemacht werden, um sich seinem Zauber zu entziehen, Wittgensteins Ratschlag folgend, wonach unser Verdacht immer rege sein sollte, wenn ein Beweis mehr beweist, als seine Mittel ihm erlauben.

Im Gegensatz zu Euklids Beweis beweist jener von Cantor nämlich nicht, was zu beweisen er vorgibt, nämlich die Existenz von nicht abzählbaren unendlichen Mengen und damit von verschiedenen transfiniten Kardinalzahlen. Das Cantorsche Diagonalverfahren zum Auffinden einer Zahl, die in einer Zahlenliste nicht vorkommt, setzt nämlich eine quadratische Ziffern-Matrix, ein Zahlenquadrat mit gleich vielen Zeilen wie Nachkommastellen voraus und macht sich den Umstand zunutze, dass es, wie die Kombinatorik lehrt, für Dezimalbrüche des Intervalls von 0 bis 1 mit n Stellen nach dem Komma genau 10n Variationen mit Wiederholung gibt, beispielsweise 103 Variationen bei 3 Dezimalen und den 10 Ziffern 0 bis 9 , nämlich die Dezimalzahlen 0,000 bis 0,999 . Im Zahlenquadrat können aber nur n Variationen aufgelistet werden, so dass es nicht nur die Cantorsche Diagonalzahl, sondern einschliesslich Null 10n - n Zahlen mit n Stellen gibt, die im Zahlenquadrat mit n Zeilen fehlen. Ein Zahlenquadrat mit n Zeilen bildet also nie eine vollständige Liste aller möglichen Zahlen mit n Stellen, wie gross auch immer n gewählt wird, was sich mit der Konstruktion der Cantorschen Diagonalzahl beweisen lässt. Umgekehrt bildet eine vollständige Liste aller Zahlen mit n Stellen nie ein Zahlenquadrat mit n Zeilen, sondern eine Liste mit 10n Zeilen, bildlich ein Zahlenrechteck, so dass es kein Diagonalverfahren (oder irgend ein anderes Verfahren) zur Konstruktion einer Zahl gibt, die in dieser Liste nicht vorkommt, weil es nicht mehr möglich ist, aus jeder Zeile eine Stelle auszuwählen, die von allen andern verschieden ist. Was für jede Zahl n gilt, gilt auch für n+1 ad infinitum. Damit ist auf induktivem Wege bewiesen, dass sich alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1, das sind alle unendlich-stelligen Dezimalzahlen dieses Bereiches (unter die auch alle endlichen Dezimalzahlen mit unendlich angehängten Nullen fallen) nicht in einer quadratischen Ziffernmatrix, einem Zahlenquadrat, auflisten lassen, weil eine vollständige Auflistung mehr Zahlzeilen als Nachkommastellen erfordert. Ein unendliches Zahlenquadrat kann also keine konstruktiv vollständige Liste aller reellen Zahlen sein und auf eine konstruktiv vollständige Liste aller reellen Zahlen kann das Diagonalverfahren nicht angewendet werden. Die Sicherheit dieser Aussage über die Menge der reellen Zahlen ist demnach die gleiche wie für die Menge der natürlichen Zahlen, denn auch diese basiert nur auf der vollständigen mathematischen Induktion.

Nun kann man zwar annehmen, im Unendlichen sei das Gegenteil der Fall und 10 Variationen für ∞-stellige Zahlen liessen sich in einem Zahlenquadrat, das ∞ Zeilen aufweist, unterbringen, muss dann aber in Anwendung des modus tollens13, wenn diese Annahme mittels Diagonalverfahren widerlegt wird, diese Voraussetzung fallen lassen und feststellen, dass ein unendliches Zahlenquadrat keine konstruktiv vollständige Liste aller reellen Zahlen sein kann. Könnte man aber umgekehrt beweisen, dass sich im Unendlichen alle 10 Variationen für ∞-stellige Zahlen im Zahlenquadrat, das ∞ Zeilen aufweist, auflisten liessen und dieses Zahlenquadrat damit konstruktiv vollständig wäre, würde dies den Gegenbeweis mittels Diagonalverfahren ausschliessen. Das Cantorsche Diagonalverfahren beweist also nicht, dass eine unendliche Liste unvollständig ist, sondern es beweist nur, dass eine quadratische unendliche Liste nicht vollständig ist und es erlaubt keine Aussagen über eine nichtquadratische unendliche Liste.


Wer diese Beweisführung, die auf der Kombinatorik und der vollständigen mathematischen Induktion basiert, nicht widerlegen kann, muss anerkennen, dass sich Cantors Beweis rekonstruieren lässt als vollständige mathematische Induktion einer falschen Proposition, woraus abzuleiten ist, dass er falsch ist. Diese falsche Aussage lautet: Alle n-stelligen Dezimalzahlen lassen sich in einer Liste mit n Zeilen auflisten; das Diagonalverfahren widerlegt diese Annahme und daraus sei abzuleiten, es gebe n-stellige Dezimalzahlen, die bei der Aufzählung aller n-stelligen Dezimalzahlen fehlen und folglich genügen alle n natürlichen Zahlen nicht, um alle n-stelligen Dezimalzahlen zu "numerieren" oder abzuzählen, weshalb es nicht abzählbare Mengen und eine neue Art von über die natürliche Zahl n hinausgehende Zahlen geben müsse, die man "übernatürliche" Zahlen nennen und mit Psi (Ψ) bezeichnen könne und deren erste n oder Ψ0 und deren nächstgrössere die Anzahl aller n-stelligen Dezimalzahlen 10n oder Ψ1 sei. Diese Beweisführung ist offensichtlich für jede beliebige natürliche Zahl n und deren Nachfolger n+1 falsch und folglich aufgrund der vollständigen mathematischen Induktion auch für die unendliche Menge der natürlichen Zahlen falsch. Setzen wir bei dieser Argumentation für Psi (Ψ) Aleph (ℵ), für n demnach Aleph0 (ℵ0) und für 10n demnach Aleph1 (ℵ1) , und ersetzen wir den Begriff "übernatürliche Zahlen" durch "transfinite Kardinalzahlen" haben wir exakt Cantors Beweisführung.

Cantors These, es lasse sich bei jeder Aufzählung x1, x2, x3, x4, ...xn..... von reellen Zahlen eine reelle Zahl x nennen, die von jeder der Zahlen x1, x2, x3, x4, ...xn.....verschieden ist, und jede solche Aufzählung sei unvollständig und es gebe keine Möglichkeit, sie zu vervollständigen, weil das Diagonalverfahren auf jede neue Aufzählung wieder angewendet werden könne, geht von anfechtbaren Voraussetzungen aus. Denn erstens setzt diese Argumentation eine quadratische Zahlenmatrix voraus, bei der es gleich viele Zeilen wie Nachkommastellen der aufgezählten reellen Zahlen gibt, weil es nur so ist möglich, ausgehend von der Diagonale dieser quadratischen Zahlenmatrix eine Zahl zu konstruieren, die deshalb von jeder der Zahlen x1, x2, x3, x4, ...xn.....verschieden ist, da sie an der ersten Stelle verschieden ist von x1, an der zweiten Stelle verschieden von x2, , an der dritten Stelle verschieden von x3, usw. Geht man aber davon aus, eine vollständige Liste von reellen Zahlen habe mehr Zeilen als Nachkommastellen, so wie dies im Endlichen der Fall ist, lässt sich das Diagonalverfahren nicht mehr anwenden. Zweitens ist die Behauptung, es gebe keine Möglichkeit jede solche Aufzählung zu vervollständigen, weil das Diagonalverfahren auf jede neue Aufzählung wieder angewendet werden könne, insofern falsch, als jede Hinzufügung der Diagonalzahl aus einer quadratischen Matrix eine nichtquadratische Matrix macht, auf die das Diagonalverfahren eo ipso nicht mehr angewendet werden kann. Nur wenn man eine durch die Diagonalzahl ergänzte quadratische Matrix durch Anfügung einer weiteren Nachkommastelle zu einer wiederum quadratischen Matrix erweitert, kann man das Diagonalverfahren auf diese nunmehr auf n+1 Nachkommastellen und Zeilen vergrösserte Matrix erneut anwenden. Aber dieser Gedanke dürfte für jene, die sich die Liste aller unendlich-stelligen Dezimalzahlen bereits als Aktual-Undendliches vollendet vorgestellt haben unerträglich sein. Denn er würde bedeuten, dass den unendlich-stelligen Dezimalzahlen wiederum eine weitere Stelle angefügt werden könnte, was impliziert, dass das, was zuvor als Vollendetes gedacht wurde, erweiterungsfähig sein muss und somit die Annahme, es sei vollendet gewesen, widerlegt. Drittens erlaubt das Diagonalverfahren nur die negative Aussage, eine n-stellige quadratische Zahlenmatrix könne nicht alle n-stelligen Dezimalzahlen enthalten, es lässt aber keine positive Aussage über die Anzahl aller n-stelligen Dezimalzahlen zu und liefert keinen Hinweis, wie eine solche vollständige Liste zu konstruieren ist. Zudem würde auch eine axiomatische Setzung des Unendlichen, das die Anwendung des Cantorschen Diagonalverfahrens erlaubt, im Widerspruch zu den durch vollständige Induktion aus gesicherten Rechengesetzen ableitbaren Eigenschaften des Unendlichen und damit im Widerspruch zu den diesen Rechengesetzen zugrundeliegenden Axiomen stehen.

Nochmals anders gesagt: Von n endlichen n-stelligen Dezimalzahlen würde wohl niemand behaupten wollen, dies seien alle möglichen n-stelligen Dezimalzahlen, um dann mittels Diagonalverfahren diese Annahme zu widerlegen und daraus ableiten, es gebe n-stellige Dezimalzahlen, die bei der Aufzählung aller n-stelligen Dezimalzahlen fehlten und folglich genügten alle n natürlichen Zahlen nicht, um alle n-stelligen Dezimalzahlen zu "numerieren" oder abzuzählen, weshalb es nicht abzählbare Mengen und eine neue Art von über die natürliche Zahl n hinausgehende Zahlen geben müsse, die man übernatürliche Zahlen nennen könne und deren nächstgrössere die Anzahl aller n-stelligen Dezimalzahlen 10n sei, obwohl 10n lediglich eine natürliche Zahl ist, die grösser als n ist und es zudem noch 10n - n -1 natürliche Zahlen gibt, die zwischen n und 10n liegen.

Gerade diese Argumentation vertrat Cantor aber bei den unendlichstelligen reellen Zahlen und fand für eine neue Art von unendlichen Zahlen, die er transfinite Zahlen nannte und für die er neue Zeichen, nämlich die Alephs einführte. Ungeklärt bleibt dabei, warum von diesem Aktual-Unendlichen stillschweigend angenommen wird, es sei eine unendliche quadratische Ziffernmatrix. Da diese Vorstellung dem Wissen über endliche Zahlen widerspricht, weil im Endlichen alle n-stelligen Zahlen nur in einer Liste mit 10n Zeilen, also einem Ziffernrechteck mit dem Seitenverhältnis n:10n aufgelistet werden können, müsste bewiesen werden, dass dieser Sachverhalt im Unendlichen nicht mehr gilt und erklärt werden, auf welche Weise sich das für alle endlichen n geltende Verhältnis der Anzahl der Dezimalstellen zur Anzahl der Zeilen von n:10n für jede vollständige Listen von n-stelligen Dezimalzahlen im Unendlichen in ein Verhältnis 1:1 verwandelt, so dass das Diagonalverfahren angewendet werden kann. Wer dies nicht beweisen und erklären kann und sich für die Auffassung des Unendlichen auf seine Intuition, seine seherischen Fähigkeiten oder sonst eine höhere Einsicht beruft, die nur Eingeweihten offenbar ist, und eine mathematisch beschreibbare Beziehung des Unendlichen mit der Mathematik des Endlichen für unnötig hält oder gar ablehnt, der betreibt nicht mehr Mathematik, sondern spekulative Philosophie, Zahlenmystik oder Esoterik.

Um eine vollständige Liste aller n-stelligen Dezimalzahlen mit dem Computer herzustellen, können wir beispielsweise eine Schleife programmieren, die 10n-mal durchlaufen wird und in der der Schleifenzähler k, der bei 0 beginnt und sich bei jedem Durchlauf um 1 erhöht, bis er 10n -1 erreicht, durch 10n geteilt und das Ergebnis von k/10n ausgegeben wird. Dabei müssen wir für n eine natürliche Zahl einsetzen, beispielsweise indem wir die oben beschriebene Schleife ihrerseits in eine umfassende Schleife setzen, die für n eine Kardinalzahl einsetzt und bei jedem Durchgang n um 1 erhöht. Ein entsprechendes BASIC - Programm sähe etwa so aus:

DO
n = n + 1
FOR k = 0 TO 10^n - 1
PRINT k/10^n
NEXT k
LOOP

Wir werden bald feststellen, dass schon bei einer relativ kleinen Zahl die Grenzen des Rechners erreicht werden. Selbst wenn wir uns einen Rechner mit unendlicher Kapazität vorstellen, so müssen wir diese Programmierung für die Herstellung einer unendlichen Liste aller Dezimalzahlen nicht ändern, denn sie gilt ersichtlich für jede beliebige natürliche Zahl n und damit auch für n + 1 ad infinitum. Wann immer wir eine vollständige Liste aller n-stelligen Dezimalzahlen ansehen würden, während der Computer dabei ist, die nächste Liste für n + 1 zu errechnen und auszudrucken, müssten wir feststellen, dass sie genau 10n Zeilen mit n-stelligen Dezimalzahlen umfasst. Das Problem liegt darin, dass der Rechner dann, wenn die umfassende Schleife eine endlose Schleife ist die z.B. mit 1 beginnt, der Reihe nach für 1,2,3,4,...-stellige Dezimalzahlen Listen errechnet und ausgibt, obwohl uns eigentlich daran gelegen wäre, dass er nur eine Liste der unendlich-stelligen Dezimalzahlen herstellt. Wir können aber in der umfassenden endlosen Schleife keine Bedingung einführen, die bewirkt, dass diese Schleife erst dann verlassen und die innere Schleife durchlaufen wird, wenn n unendlich ist, weil jede noch so grosse Zahl n einen noch grösseren Nachfolger n+1 hat ad infinitum. Oder umgekehrt: könnten wir eine solche Bedingung einfügen, würde sie niemals eintreten, weil n nie unendlich ist, sondern nur unendlich anwächst.

Das Unendliche, in diesem Text durch das allgemein bekannte Zeichen ∞ abgekürzt, darf also nicht als Konstante gelten, sondern nur als Variable, in die endlos die Werte eingesetzt werden müssen, die der Konstruktionsregel der Folge entsprechen. Das Unendliche ist also kein Grenzwert und keine letzte Zahl einer Folge, nie etwas Vollendetes, sondern stets etwas endlos Fortsetzbares, entsprechend der intuitionistischen Theorie der Wahlfolge L.E.J. Brouwers. Recht bedacht kann man per definitionem weder eine unendliche Zahl, eine endlose Ziffernfolge, noch eine endlose Folge von Zahlen zu Ende denken, weshalb Gauss "den Gebrauch einer unendlichen Grösse als einer vollendeten" ablehnte und das Unendliche nur als Façon de parler akzeptieren wollte. "Der wahre (transzendentale) Begriff der Unendlichkeit ist: dass die sukzessive Synthesis der Einheit in Durchmessung eines Quantum niemals vollendet sein kann", wie Kant es formulierte14 . Die gegenteilige Auffassung Cantors, sich eine unendliche Zahl als bestimmt und vollendet zu denken und das Unendliche als aktual Gegebenes aufzufassen, ist ein Widerspruch in sich selbst, eine contradictio in adjecto. "Il n'y a pas d'infini actuel ; les Cantoriens l'ont oublié, et ils sont tombés dans la contradiction." wie Henri Poincaré meinte15 , oder: " Tout théorème de mathématiques doit pouvoir être vérifié. ....mais comme les vérifications ne peuvent porter que sur des nombres finis, il s'ensuit que tout théorème sur les nombres infinis ou surtout sur ce qu'on appelle ensembles infinis, ou cardinaux transfinis, ou ordinaux transfinis, etc., ne peut être qu'une façon abrégée d'énoncer des propositions sur les nombres finis. S'il en est autrement, ce théorème ne sera pas vérifiable, et s'il n'est pas vérifiable, il n'aura pas de sens." 16 Weiter gab Poincaré zu bedenken: "Was nun die zweite transfinite Kardinalzahl ℵ1 betrifft, so bin ich nicht ganz überzeugt, daß sie existiert. Man gelangt zu ihr durch Betrachtung der Gesamtheit der Ordnungszahlen von der Mächtigkeit ℵ0 ; es ist klar, daß diese Gesamtheit von höherer Mächtigkeit sein muß. Es fragt sich aber, ob sie abgeschlossen ist, ob wir also von ihrer Mächtigkeit ohne Widerspruch sprechen dürfen. Ein aktual Unendliches gibt es jedenfalls nicht."17 Und selbst David Hilbert konzedierte, dass das Unendliche nirgends realisiert ist und das "Operieren mit dem Unendlichen ... nur durch das Endliche gesichert werden" kann18, dieweil Brouwer die Existenz von Cantors zweiter Zahlenklasse  schlichtweg bestritt.19 Zu demselben Ergebnis kam auch der Nobelpeisträger Percy Williams Bridgman: "The ordinary diagonal Verfahren I believe to involve a patent confusion of the program and object aspects of the decimal fraction... In fact, I find it difficult to unterstand how such a situation should have been capable of persisting in mathematics." 20

In der Mengenlehre gilt nun seit Richard Dedekind als Lehrsatz, dass eine unendliche Menge eine Menge ist, die gleichmächtig ist wie eine ihrer echten Teilmengen21 . Daraus ergibt sich für das Beispiel der unendlichen Teilmenge der geraden Zahlen, dass sie abzählbar unendlich ist und dieselbe Mächtigkeit, die gleiche Anzahl (Kardinalzahl) hat, wie die unendliche Menge der natürlichen Zahlen. Wundern soll man sich also über den Umstand, dass es gleich viele gerade Zahlen wie natürliche Zahlen gebe, nämlich unendlich viele, obwohl es doch nur halb so viele gerade Zahlen wie natürliche Zahlen gibt, wenn man alle geraden Zahlen bis zu einer beliebige geraden Zahl zählt und sie mit dieser vergleicht. Die gleiche Argumentation gilt mutatis mutandis für alle unendlichen Teilmengen einer unendlichen Menge und führte zur fragwürdigen Behauptung, im Unendlichen gelte der Satz nicht mehr: Das Ganze ist stets grösser als ein Teil davon. 22

Analysiert man diese verblüffende Lehrmeinung, ergibt sich folgendes: Abzählbar heisst eine Menge, wenn sie sich eineindeutig auf die Menge der natürlichen Zahlen abbilden oder ihr paarweise zuordnen lässt, wie folgendes Schema zeigt:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

.

.

.

n

.

.





|

|

|

|

|
















2

4

6

8

10

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.

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.

.

.

.

.

2n.

.

.





(erste Folge: natürliche Zahlen n; zweite Folge: gerade Zahlen 2n)

Dabei spielt es keine Rolle, ob die zweite, abzuzählende Folge aus den natürlichen Zahlen der ersten Folge errechnet werden kann, wie beispielsweise bei den geraden Zahlen (2n) oder den Quadratzahlen (n2), den Kubikzahlen (n3) usw., oder ob sie einer Regel folgend aus der ersten Folge ausgewählt wird, wie bei den Primzahlen. Einfach gesagt, drückt dieses Schema die Tautologie aus, dass jede beliebige unendliche Folge von Zahlen unendlich ist. Mit Wittgenstein liesse sich dazu sagen: "Die Ausdrucksweise: m = 2n ordne eine Klasse einer ihrer echten Teilklassen zu, kleidet einen trivialen Sinn durch Heranziehung einer irreführenden Analogie in eine paradoxe Form.... Es ist genau so, als stiesse man die Regeln des Schach um und sagte, es habe sich gezeigt, dass man Schach auch anders spielen könne. So verwechselt man erst das Wort »Zahl« mit einem Begriffswort wie »Äpfel«, spricht dann von einer »Anzahl der Anzahlen« und sieht nicht, dass man in diesem Ausdruck nicht beidemal das gleiche Wort »Anzahl« gebrauchen sollte; und endlich hält man es für eine Entdeckung, dass die Anzahl der geraden Zahlen die gleiche ist wie die der geraden und ungeraden".23

Die Abzählbarkeit bezieht sich nur auf das Verhältnis einer Menge zur Folge der natürlichen Zahlen und nicht auf das Verhältnis zu andern Mengen. Diese paarweise Zuordnung, bei der die Gleichzahligkeit der ersten, abzählenden Folge mit der zweiten, abzuzählenden Folge vorausgesetzt wird, entspricht somit dem Akt des Zählens von Elementen der nach Abschluss des Verfahrens als Resultat die Anzahl der Elemente ergibt. Da sich diese Methode der Zuordnung, der Abzählbarkeit also, potentiell auf beliebige Mengen anwenden lässt, können alle Mengen abzählbar genannt werden. Endliche Mengen werden damit effektiv abgezählt, unendliche Mengen aber bleiben nur der Möglichkeit nach abzählbar und werden abzählbar unendlich genannt. Weil das Verfahren der Zuordnung dabei kein Ende hat, kann der Beweis für die Existenz von über das Unendliche hinausgehenden und damit nicht abzählbaren oder überabzählbaren Mengen nicht durch den Nachweis erbracht werden, dass in einer unendlichen Menge mindestens ein Element fehlt. Denn der Beweis, dass in einer unendlichen Liste von Zahlen mindestens eine Zahl fehlt, beweist nicht, dass diese Liste unvollständig ist, sondern, dass sie effektiv unendlich ist, weil es eine Vorschrift gibt, nach der immer wieder mindestens eine Zahl angefügt werden kann. Nur die widersprüchliche Annahme, eine unendliche Liste sei vollständig, so dass ihr keine Zahl mehr hinzugefügt werden kann, würde den Schluss erlauben, die Anwendung der Vorschrift, die die Unendlichkeit einer Folge überhaupt erst ermöglicht, lasse die Widerlegung der Vollständigkeit zu.

Ersichtlich ist die Methode des Zuordnens oder Zählens verschieden von jener der Auswahl, denn diese erfolgt nach dem folgenden Schema:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

.

.

.

n

.

.






|


|


|


|


|












2


4


6


8


10

.

.

.

g.

.

.





( erste Folge: natürliche Zahlen n; zweite Folge: gerade Zahlen g)

Dabei gilt für jede beliebige echte Teilmenge, dass die Anzahl ihrer Elemente kleiner ist als jene der Menge der natürlichen Zahlen, die benötigt wird, um diese echte Teilmenge auszuwählen. Denn für eine echte Teilmenge A gilt, dass alle Elemente von A auch Elemente einer Menge B sind und es mindestens ein Element von B gibt, das nicht zu A gehört. Die Anzahl der Elemente der ersten Folge der natürlichen Zahlen aus der eine echte Teilmenge von Zahlen ausgewählt wird, ist folglich immer grösser als jene der Elemente der zweiten Folge der ausgewählten echten Teilmenge von Zahlen. Beispielsweise zeigt obiges Schema, dass die ersten 10 natürlichen Zahlen benötigt werden, um daraus die ersten 5 geraden Zahlen auszuwählen. Damit setzt die Methode der Auswahl die Ungleichzahligkeit der Menge, aus der ausgewählt wird, mit jener, die ausgewählt wird, voraus. Dynamisch betrachtet heisst dies, die Anzahl der Elemente der Menge aus der ausgewählt wird, läuft der Anzahl der Elemente der echten Teilmenge, die ausgewählt wird voraus. D.h. die Methode der Auswahl ist verschieden von jener der Zuordnung oder des Zählens. Nur die Nichtbeachtung dieses Unterschiedes führt zum Schluss, dass eine unendliche Menge eine Menge sei, die gleichmächtig ist wie eine ihrer echten Teilmengen, wie Richard Dedekind postulierte24 . Dedekinds Definition einer unendlichen Menge widerspricht der Definition einer echten Teilmenge. Dabei wird die Tatsache, dass jede beliebige unendliche Folge von Zahlen der unendlichen Folge der natürlichen Zahlen zugeordnet werden kann zum Anlass genommen, für gewiss zu halten, dass die Anzahl jeder beliebigen unendlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen die gleiche sein müsse, wie die Anzahl der Menge der natürlichen Zahlen, die benötigt werden, um eine solche echte Teilmenge auszuwählen. Dies aber ist, wie oben gezeigt, nicht der Fall. Es kann daher auch keine Grenze angegeben werden, bei der dieser Fall eintritt und das Endliche ins Unendliche übergeht. Dies ist unmöglich, denn keine noch so grosse Zahl von Elementen n kann ein solcher Grenzwert sein, weil es bei unendlichen Mengen definitionsgemäss zu jedem n immer eine noch grössere endliche Zahl n+1 als Nachfolger gibt. Mit Wittgenstein lässt sich dazu sagen, Dedekinds Definition einer unendlichen Menge "gibt nämlich vor, dass aus dem Gelingen oder Misslingen des Versuchs, eine wirkliche Teilklasse der ganzen Klasse zuzuordnen, hervorgeht, dass sie unendlich bzw. endlich ist. Während es einen solchen entscheidenden Versuch gar nicht gibt."25

Die Menge aller reellen Zahlen x für die gilt 0<x<1 ist in der euklidschen Geometrie zugleich die Menge der Punkte auf der Einheitsstrecke zwischen 0 und 1. Da die reellen Zahlen eineindeutig den Punkten einer Geraden zugeordnet werden können, ist die Mächtigkeit des Kontinuums auch die Kardinalzahl der Menge aller Punkte einer Geraden. Cantor zeigte nun, dass sich die Punkte der Geraden auch jenen der Ebene, des dreidimensionalen Raumes, ja eines Raumes von beliebiger Dimensionszahl zuordnen lassen, womit nachgewiesen sei, dass die Kardinalzahl der Menge aller Punkte der Geraden, der Ebene und n-dimensionaler Räume gleichzahlig sei. Nun lässt sich aber zeigen, dass dieses Ergebnis Cantors auf einem Zirkelschluss oder einer petitio principii beruht. Ein solcher Zirkelschluss ist, mit Kant zu reden, "oft schwer zu entdecken; und dieser Fehler wird gerade da gemeiniglich am häufigsten begangen, wo die Beweise schwer sind" 26. Der Punkt ist ein Grundbegriff der Geometrie, nach Euklid etwas, »das keine Teile hat«. Seit David Hilbert sind der Punkt, die Gerade und die Ebene als Grundelemente im Axiomensystem der Geometrie implizit definiert oder in der analytischen Geometrie ein Zahlenpaar in der Ebene oder ein Zahlen-n-Tupel im n-dimensionalen Raum. Der Punkt muss dabei aber als eine ausdehnungslose Raumstelle betrachtet werden. So betrachtet ist es per definitionem sinnlos zu fragen, wieviel Punkte es auf einer Geraden, einer Fläche oder im Raum gebe und ob diese untereinander gleich seien oder nicht. Da die Strecke stets als der Abstand zwischen zwei Punkten aufzufassen ist, gibt es zwischen zwei gleichen Punkten keine Strecke. Eine Strecke kann man sich immer als Summe von Teilstrecken denken, niemals aber als Summe von Punkten, die ausdehnungslos sind.

Werden Punkte der Einheitsstrecke zentral auf eine grössere Strecke projiziert, wie dies Frankel zum Beweis der Aussage tut, dass die Punktmenge einer beliebigen geraden Strecke äquivalent der Menge aller Punkte auf der Einheitsstecke der Zahlengeraden sei27 , ist der Punkteabstand auf dieser Strecke grösser als jener auf der Einheitsstrecke, die Anzahl der Punkte aber bleibt unverändert. Und jede Art der eins-zu-eins-Zuordnung von Punkten der Einheitsstrecke zu jenen einer anderen Strecke, der Geraden, der Ebene oder des Raumes setzt die gleiche Anzahl von Punkten voraus. Bei 9 Punkten auf der Einheitsstrecke ist der Punkteabstand 1/10 oder 10-1, allgemein ist bei 10n-1 Punkten der Punkteabstand 1/10n oder 10-n , wobei n=1,2,3,4..... Projiziert man die Punkte der Einheitsstrecke auf eine k-mal längere Strecke, ist der Punkteabstand auf dieser Strecke k/10n und dabei ist k/10n>1/10n, wenn k>1 ist. Die Punkte P1...Px auf der Einheitsstrecke entsprechen den Dezimalbrüchen Pi= i/10n mit n Stellen nach dem Komma und mit i von 1 bis 10n-1 . Nur endliche Dezimalbrüche, die sich hinschreiben lassen, bestimmen Punkte exakt, während unendliche Dezimalbrüche, die sich nicht hinschreiben oder zu Ende denken lassen, auch keine Punkte bestimmen können, also gleichsam immer nur bei Abbruch eines unendlichen Verfahrens Annäherungen an solche Punktstellen mit unendlichen Adressen sein können. Die geometrische Gerade kann daher durch die arithmetische Menge aller reellen Zahlen nicht abschliessend beschrieben werden und damit lässt sich über die Anzahl oder Kardinalzahl der Menge der Punkte auf der Geraden auch nur aussagen, dass diese einfach potentiell unendlich ist. Das Kontinuum ist - wie schon Aristoteles sah - keine unendliche Menge von Punkten, sondern nur der Möglichkeit nach Träger von unendlich vielen Punkten. Verkleinert man den Abstand zwischen den Punkten von 10-n auf 10-(n+1), so erhöht sich die Anzahl aller möglichen endlichen Dezimalbrüche zwischen 0 und 1 und damit der Anzahl der Punkte auf der Einheitsstrecke von 10n-1 auf 10(n+1)-1. Was für jede natürliche Zahl n gilt, gilt auch für n+1 ad infinitum. Wird für n unendlich oder ein entsprechendes Zeichen, z.B. ∞ gesetzt, so werden die Abstände zwischen den 10-1 Punkten 10-∞. Dabei muss immer gelten, dass 10-∞>0, weil im Falle von 10-∞=0 kein Abstand zwischen den Punkten mehr, keine Strecke mehr vorhanden wäre und somit nur noch ein Punkt (Nullstrecke) vorläge. Die Denkfigur der unendlich dichten Punkte, also die Vorstellung, dass unendlich viele Punkte so dicht beieinander liegen, dass sie nicht mehr einzeln erkennbar sind, wobei man Mengen von so zusammenhängenden Dingen kontinuierlich nennt, impliziert die Verringerung des Punkteabstandes auf Null, was aber wie zuvor gezeigt, unzulässig ist. Lässt man die Abstände zwischen Punkten zwar beliebig klein, niemals aber Null werden, lassen sich bei Punktprojektionen von kürzeren auf längere Strecken auch die zuvor dargelegten unterschiedlichen Abstände zwischen den Punkten auf diesen beiden Strecken konstatieren, wie klein diese auch immer seien. Und dies gilt auch für die Projektion aller Punkte einer Einheitsstrecke auf eine unendliche Gerade und von einer Geraden auf die Ebene und in den Raum. Auch wenn die Abstände beliebig klein sind, so sind sie immer von Null verschieden und damit ist auch ausgeschlossen, dass Punkte zu Strecken, Strecken zu Flächen und Flächen zu Räumen werden und damit die ihnen zugrundeliegenden Definitionen oder gesetzten Eigenschaften verlieren, um nahtlos ineinander zu verschmelzen. Die Vorstellung, eine Strecke sei eine Menge von Punkten und damit eine Beschreibung des Kontinuierlichen der Stecke ist von Hermann Weyl daher als "evidenter Unsinn" bezeichnet worden. "Da die Punkte .... keinen in sich bestimmten und begrenzten Inbegriff bilden, ist es widersinnig, auf dieser Grundkategorie von Gegenständen in analoger Weise die Geometrie zu errichten, wie ... der Aufbau der Analysis auf dem Fundament des Begriffs der natürlichen Zahl vollzogen wurde. Vielmehr sind wir, um ein umfangs-definites System von Punkten zu erhalten, angewiesen auf ihre logisch-arithmetische Konstruktion."28 "Ein wahrhaftes Kontinuum ist eben ein in sich Zusammenhängendes und kann nicht in getrennte Bruchstücke aufgeteilt werden; das widerstreitet seinem Wesen. ... auch bei seiner mathematischen Erfassung müssen wird daher nicht von den Punkten, sondern von den Intervallen ausgehen." 29

Die Methode der paarweisen Zuordnung von Elementen und die Projektion von Punkten setzen voraus, dass bereits ausgewählt ist, was zugeordnet oder projiziert werden soll. Sie sagen nichts darüber aus, wie diese Auswahl zustande kam, aus welcher Menge eine Teilmenge ausgewählt wurde oder welche Abstände zwischen den ausgewählten Punkten liegen. Dort aber wo es gerade darauf ankommt, solche Aussagen zu machen oder sie explizit oder implizit mitzubenutzen, ist die Methode der Auswahl in die Beweisführung miteinzubeziehen. Zudem ist zu beachten, dass diese Methoden keine Möglichkeit eröffnen, um infinite Prozesse in finite Prozesse zu überführen und unendliche Mengen als vollendetes Ganzes aufzufassen. Aber nur wo eine Methode zu einem Ende führt, führt sie zu einem Resultat und lässt die Feststellung zu, dass alles erfasst ist. Lässt sich die Zuordnung, die Auswahl oder Projektion nicht zu Ende führen, führt sie zu keinem Ergebnis, sondern nur zur tautologischen Feststellung, dass sie endlos, unendlich ist. Ein Abbruch des Verfahrens ergibt kein Resultat, sondern trivialerweise den Stand bei Verfahrensabbruch.

Damit ist Cantors Beweis der Existenz von überabzählbaren unendlichen Mengen und von verschiedenen transfiniten Kardinalzahlen mittels Diagonalverfahren widerlegt und das Paradies Hilberts verloren. Mit Wittgenstein zu reden: "Wenn gesagt würde: »Die Überlegung über das Diagonalverfahren zeigt Euch, dass der Begriff »reelle Zahl« viel weniger Analogie mit dem Begriff Kardinalzahl hat, als man, durch gewisse Analogien verführt, zu glauben geneigt ist«, so hätte das einen guten und ehrlichen Sinn. Es geschieht aber gerade das Gegenteil: indem die »Menge« der reellen Zahlen angeblich der Grösse nach mit der der Kardinalzahlen verglichen wird. Die Artverschiedenheit der beiden Konzeptionen wird durch eine schiefe Ausdrucksweise als Verschiedenheit der Ausdehnung dargestellt. Ich glaube und hoffe, eine künftige Generation wird über diesen Hokus Pokus lachen".30

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Literaturhinweise:

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Wittgenstein Online

Juni 1998


Anmerkungen

[1] Popper, Karl R. Logik der Forschung. 9.Aufl. Tübingen 1989. S.41. Mit Goethes Faust liesse sich sagen: Denn ein vollkommner Widerspruch/ Bleibt gleich geheimnisvoll für Kluge wie für Toren.

[2] Hegel, Georg, Wilhelm, Friedrich. Wissenschaft der Logik II, 2.Buch. Frankfurt a.Main 1986. S.64 ff. (Hegel, Wissenschaft der Logik)

[3] Vgl. Hermann Weyl. Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft. München 2000. Anhang: Die Struktur der Mathematik. S. 285. Kurt Gödel selbst meinte: "Es läßt sich überhaupt jede epistemologische Antinomie zu einem derartigen Unentscheidbarkeitsbeweis verwenden." Kurt Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), S. 175, Anm.14.

[4] Lyotard, Jean-François. La condition postmoderne : rapport sur le savoir / - Paris : Les Editions de Minuit, 1979. , S.70. Reese-Schäfer, Walter. Lyotard zur Einführung, Hamburg 1988, S.35.

[5] Kuhn,Thomas S.. Die Struktur wissenschaftlicher Revolutionen. Frankfurt a.M. 1988. S. 163.

[6] Kant: Logik 

[7] Hahn, Hans. Gibt es Unendliches? In: Empirismus, Logik, Mathematik. Frankfurt a.M. 1988. S. 120 ff. oder (Gesammelte Abhandlungen Band 3, S.539 ff.)

[8] Fraenkel. Einleitung in die Mengenlehre. §5, S.46  Cantors Beweis, dass "es unendliche Mannigfaltigkeiten gibt, die sich nicht gegenseitig eindeutig auf die Gesamtheit aller endlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3, …, beziehen lassen, oder, wie ich mich auszudrücken pflege, die nicht die Mächtigkeit der Zahlenreihe 1, 2, 3, …, … haben." Cantors Philosophie des aktual Unendlichen ist zu finden in: Georg Cantor, Richard Dedekind, Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo. Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts S. 370 - 377.

[9] Gardner, Martin. The Hierarchy of Infinities and the Problem it Spawns. Scientific American March 1966, 112-116.

[10] Hilbert. Über das Unendliche. S.170 

[11] Weyl. Grundlagenkrise 

[12] Taschner, Rudolf. Das Unendliche. Mathematiker ringen um einen Begriff. Berlin Heidelberg 1995, S.100 ff.,131 f.

[13] Modus der Widerlegung

[14] Kant: Kritik der reinen Vernunft 

[15] Poincaré. Les mathématiques et la logique. XV. Conclusions 

[16] Poincaré. Dernières pensées. § 6.-L'EMPLOI DE L'INFINI 

[17] Sechs Vorträge über ausgewählte Gegenstände aus der reinen Mathematik und der mathematischen Physik (1910), Fünfter Vortrag, ÜBER TRANSFINITE ZAHLEN .

[18] Hilbert. Über das Unendliche S.190. Oder S. 162: "Und so wie das Operieren mit dem Unendlichkleinen durch Prozesse im Endlichen ersetzt wurde, welche ganz dasselbe leisten und zu ganz denselben eleganten Beziehungen führen, so müssen überhaupt die Schlußweisen mit dem Unendlichen durch endliche Prozesse ersetzt werden, die gerade dasselbe leisten, d.h dieselben Beweisgänge und dieselben Methoden der Gewinnung von Formeln und Sätzen ermöglichen. Dies ist nun die Absicht meiner Theorie."

[19] Brouwers XIII. These in seiner Dissertation lautete: "De tweede getalklasse van CANTOR bestaat niet", also: "Die zweite Zahlenklasse von Cantor existiert nicht".

[20] P.W.Bridgman, A physicist's second reaction to Mengenlehre, Scripta Mathematica 2, (1934), S. 101-117 und 224 - 234, zitiert nach Fraenkel A. Zum Diagonalverfahren Cantors. Fundamenta Mathematicae 25  S.45-50.1935.  Fraenkel geht in seinem Artikel aber überhaupt nicht auf Bridgmans m.E. treffendes Argument ein, wonach: "The theorem would demand that it is impossible to set up any scheme for arranging all possible decimal fractions of r digits in a definite order, r being subject to no restriction as to magnitude. But such a theorem is obviously false, for there are not more than 10r possibile decimal of r digits, so that .. I can set up a scheme by which any possible decimal of r digits will be found to correspond to some number less than 10r..."

[21] Fraenkel. Einleitung in die Mengenlehre. §3, S.23 f.  

[22] Immanuel Kant. Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik die als Wissenschaft wird auftreten können Riga 1783. § 2 in fine.

[23] Wittgenstein, Ludwig. Philosophische Grammatik. 2.Aufl. Frankfurt a.M. 1978 S.465 f.

[24] Dedekind. Was sind und was sollen Zahlen? §5 S.356: "Ein System S heißt unendlich, wenn es einem echten Teile seiner selbst ähnlich ist; im entgegengesetzten Falle heißt S ein endliches System."

[25] Wittgenstein, Ludwig. Philosophische Grammatik. 2.Aufl. Frankfurt a.M. 1978 S.464 f.

[26] Kant:Petitio principii  

[27] Fraenkel. Einleitung in die Mengenlehre. §5, S.51 

[28] Weyl, Grundlagenkrise. S. 48  

[29] Weyl, Grundlagenkrise. S. 73 .  Im übrigen zeigt das Banach-Tarski-Paradox, dass mit dem in sich widersprüchlichen Konzept der nicht messsbaren Punktmenge eine Welt konstruiert werden kann, in der aus den Teilen einer Kugel zwei gleiche Kugeln hergestellt werden können. Aber das kann nicht wirklich erstaunen, wenn man bedenkt, dass in dieser Welt die Punktemenge der Einheitsstrecke die gleiche ist wie jene der Geraden, der Ebene oder des Raumes.

[30] Wittgenstein, Ludwig. Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik. Frankfurt a.M. 1984. S.132.